ေဒါက္တာခင္ေမာင္ဝင္း (သခ်ၤာ) - ဖြံ႔ၿဖိဳးဆဲႏုိင္ငံမ်ားတြင္ ရွစ္ႀကိမ္ေျမာက္ သိပံၸႏွင့္သခ်ၤာ ပညာေရး ဆုိင္ရာေဆြးေႏြးပဲြ အေတြ႔အႀကံဳမ်ား - အပုိင္း ၂
(မိုးမခ) ဇန္န၀ါရီ ၇၊ ၂၀၁၆
သခ်ၤာပညာေရးဆုိင္ရာပထမဦးဆုံးေဆြးေႏြးပဲြကုိ ၁၉၆၉ ခုႏွစ္ကျပဳလုပ္ခဲ့ၿပီး သခ်ၤာပညာေရးဆုိင္ရာ သီအုိရီသေဘာတရားတစ္ခု လိုအပ္ေၾကာင္းကုိ ေဖၚထုတ္ျပသခဲ့သည္။ သုိ႔ရာတြင္ သခ်ၤာပညာေရးကုိ ေလ့လာရာတြင္ သခ်ၤာဘာသာတစ္မ်ိဳးတည္းကုိေလ့လာျခင္းျဖင့္ မလုံေလာက္ေတာ့ဘဲ၊ သခ်ၤာႏွင့္ ဆက္စပ္ေနေသာ အျခားဘာသာမ်ားကုိလည္း ေလ့လာရန္ လုိအပ္ပါသည္ဟူ၍ တင္ျပခဲ့သည္။
ေမးခြန္းမ်ားေမးခ်ိန္နွင့္ ေဆြးေႏြးခ်ိန္တြင္ ကြ်န္ေတာ္က သခ်ၤာသင္ရုိးမ်ားတြင္ သခ်ၤာသမုိင္း (History of Mathematics) သည္ အေရးႀကီးေသာအခန္းက႑တြင္ ပါဝင္သင့္ေၾကာင္းကုိ တင္ျပခဲ့သည္။ သုိ႔ရာတြင္ သခ်ၤာသမုိင္းဘာသာကုိလည္း ဦးစားေပးသင့္ေၾကာင္းကုိ တင္ျပခဲ့ပါသည္။ လက္ေတြ႔နယ္ပယ္မ်ားတြင္ သခ်ၤာအျပင္ အျခားေသာ ဘာသာရပ္မ်ားျဖစ္ၾကေသာ ဒႆန (Philosophys )၊ စိတ္ပညာ (Psychology)၊ ဇီဝေဗဒ( biology)၊ Evolution Theory (အဆင့္ဆင့္ေျပာင္းလဲျခင္းသီအုိရီ) ႏုိင္ငံေရးသိပၸၸၸံ (poliyical science) တုိ႔ကုိပါ ေလ့လာသင့္ေၾကာင္းကုိ ေဆြးေႏြးတင္ျပပါသည္။
ေမးခြန္းေမးရန္ေပးထားေသာ အခ်ိန္သာရွိခဲ့လွ်င္ သခ်ၤာသင္ၾကားပုိ႔ခ်သည့္အခါတြင္ သီအုိရီတစ္ခုကုိ ေဖၚထုတ္ျပသေသာ ဥပမာမ်ားကုိ မည္မွ်အေလးေပး သင့္သည္ ဟူသည္ကုိ ေမးျမန္းခ်င္ပါသည္။ အကယ္၍ အခ်ိန္သာရွိခဲ့လွ်င္ဤကိစၥႏွင့္ပတ္သက္၍ ဆရာဦးကိုကုိေလး၏ ေျပာၾကားခ်က္တစ္ခုကုိ အသိေပးေဆြးေႏြးလုိပါသည္။
ဆရာဦးကုိကုိေလးက ဆုိခဲ့သည္မွာ သီအုိရီတစ္ခုကုိ ေဖၚထုတ္ျပသေသာ ဥပမာမ်ားစြာကုိ ဦးစားေပး၍ သင္ျခင္းတြင္ အႏၱရယ္တစ္ခုရွိသည္။ ၄င္းမွာ ဤဥပမာမ်ားသည္ ထုိသီအုိရီ၏ သက္ေသျပခ်က္ျဖစ္သည္ဟု လဲြမွားစြာ မွတ္ယူသြားႏုိင္သည္။
ဤေနရာတြင္ သခ်ၤာပညာရွင္ ပိြဳင္ကါေရး( Poincare) ၏ အဆုိတစ္ခုမွာမွတ္သားစရာျဖစ္ပါသည္။ ပိြဳင္ကါေရးက ဆုိသည္မွာ ဥပမာမ်ား သန္းခ်ီ၍ ေပးႏုိင္ရုံျဖင့္ သီအုိရီတစ္ခု၏ မွန္ကန္ေၾကာင္းကုိ မေျပာႏုိင္ေသာ္လည္း ဥပမာတစ္ခုေၾကာင့္ သီအုိရီတစ္ခုမွားေၾကာင္းကုိ ထင္ထင္ရွားရွား ေဖၚထုတ္ႏုိင္သည္။
ထုိ႔ေနာက္ ေဒါက္တာေဒၚစီစီက အျဖဴေရာင္ ဆူညံသံ( white noise) ႏွင့္ ဆုိင္ေသာ သခ်ၤာသေဘာတရားမ်ားကုိ White Noise Analysis and Levy’s Functional Analysis (အျဖဴေရာင္ဆူညံသံႏွင့္ လီဘီ၏ ဖန္ရွင္နယ္ သရုပ္ခဲြျခင္း) အမည္ရွိစာတမ္းတြင္၊ တင္ျပခဲ့ပါသည္။ ထုိစာတမ္းတြင္ က်ပမ္းျဖစ္ရပ္တစ္ခုကုိ မွီ၍ ျဖစ္လာေသာအျဖဴေရာင္ဆူညံသံကုိ တည္ေဆာက္ျခင္းအေၾကာင္းကုိ တင္ျပသည္။ ဤစာတမ္းတြင္ အျဖဴေရာင္ဆူညံသံကုိ သခ်ၤာသေဘာတရား သက္သက္ျဖင့္ ေဖၚျပရာတြင္ ျဖစ္ရပ္တစ္ခုႏွင့္ တူညီေသာ အေျခခံက်ပမ္းကိန္းရွင္မ်ား အစုအေဝးဟူ၍ အဓိပၸၸါယ္ေဖာ္ခဲ့သည္။ ထုိ႔ေၾကာင့္ ေျဖရွင္းရမည့္ သခ်ၤာညီမွ်ျခင္းပုံစံကုိေဖၚျပၿပီး၊ ကဲကုလ္နည္းကုိသုံး၍ ေျဖရွင္းပုံကုိေဖၚျပခဲ့သည္။ ထုိစာတမ္းသည္ ‘ဆူညံသံ’ ဟူေသာ ေဝါဟာရမွအပ၊ သခ်ၤာေဝါဟာရမ်ားႏွင့္ ညီမွ်ျခင္းမ်ား ျပည့္ေနသျဖင့္ သခ်ၤာပညာရွင္မ်ားပင္လွ်င္ နားလည္ရန္ အေတာ္ႀကိဳးစားရပါသည္။
ဒုတိယေန႔ျဖစ္ေသာ ဒီဇင္ဘာလ ၅ရက္ အစီအစဥ္ကုိ စင္ကၤာပူအမ်ိဳးသားတကၠသုိလ္၏ သခ်ၤာဌာနမွ ပါေမာကၡ လူဝိခ်န္း( စတုိင္းစ္ တြက္နည္း) အမည္ရွိစာတမ္းျဖင့္ စတင္ခဲ့ပါသည္။ ထုိစာတမ္းသည္ သခ်ၤာနယ္ပယ္တြင္ Approximation (ခန္႔မွန္းေျခအေျဖရွာျခင္း) ဟူေသာအေၾကာင္းထဲမွ နည္းလမ္းတစ္ခုျဖစ္ပါသည္။ ထုိစာတမ္းတြင္ ပါဝင္ေသာအမည္ျဖစ္သည့္ စတုိင္း (Stein)သည္ အေမရိကန္ႏုိင္ငံ၊ စတင္းဖုိ႔တကၠသုိုလ္မွ ပါေမာကၡတစ္ဦးျဖစ္ပါသည္။ သူေဖၚထုတ္ခဲ့ေသာ ခန္႔မွန္းအေျဖရွာနည္းသည္ လက္ေတြ႔နယ္ပယ္မ်ားျဖစ္ၾကေသာ တြက္ခ်က္ျခင္းဇီဝေဗဒ (computational biology) ကြန္ပ်ဴတာသိပၸၸံ (computer science) စိတ္ခ်ရျခင္းဆုိင္ရာသီအုိရီ (reliability theory စသည္တုိ႔တြင္ အသုံးဝင္ပါသည္။ ထုိ႔ေၾကာင့္ ဤတြက္နည္းသည္ ယခုအခါတြင္ ႀကီးထြားလွ်က္ရိွၿပီး အလြန္လူသိမ်ားေသာ သုေတသနနယ္ပယ္တစ္ခုျဖစ္ေနပါသည္။
ဒုတိယေန႔ (ဒီဇင္ဘာလ ၅ရက္) ၏ ဒုတိယစာတမ္းမွာ ေဒါက္တာေအာင္သူ၏ History of Mathematics and the Exploitation of that for the Development of the Future ( သခ်ၤာ၏သမုိင္းႏွင့္ အနာဂတ္၏ ဖံြ႔ၿဖိဳးေရးအတြက္ ၄င္းကုိအသုံးခ်ျခင္း) အမည္ရွိ စာတမ္းကုိတင္သြင္းခဲ့ပါသည္။ ထုိစာတမ္းတြင္ ေဖၚျပထားသည္မွာ ကြ်ႏ္ုပ္တုိ႔သည္ သခ်ၤာအေၾကာင္းကုိ ေျပာမည္ဆုိလွ်င္ ၄င္းတြင္ အလြန္ေရွးက်ေသာ သမုိင္းအစဥ္အလာရွိသည္ကုိ ေတြ႔ရပါမည္။ သခ်ၤာ၏သမုိင္းသည္ ခရစ္ေတာ္မေပၚမွီကပင္ စတင္ခဲ့ပါသည္။ ဤစာတမ္းတြင္ ေခတ္အဆက္ဆက္က သခ်ၤာပညာရွင္မ်ားအေၾကာင္းကုိ တင္ျပပါမည္။ သူတုိ႔၏ သခ်ၤာႀကိဳးပမ္းခ်က္မ်ားကုိလည္း တင္ျပသြားပါမည္။ အခ်ိဳ႕ေသာ သခ်ၤာပညာရွင္မ်ားေပၚေပါက္ခဲ့ေသာ ေခတ္ကာလသည္ ေရွးကသမုိင္းတြင္ နစ္ျမဳပ္ေနသျဖင့္ သူတုိ႔အေၾကာင္းကုိ တိတိက်က်ေဖၚထုတ္၍ပင္ မရပါ။ သူတုိ႔၏ သခ်ၤာဆုိင္ရာ ေတြ႔ရွိခ်က္မ်ားသည္ သခ်ၤာ၏ အနာဂတ္ဖံြ႔ၿဖိဳးမႈအေတြက္ မ်ားစြာအေထာက္အကူျဖစ္ခဲ့ပါသည္။ ထုိသခ်ၤာပညာရွင္ႀကီးမ်ား၏ အခ်ိဳ႕ေသာေတြ႔ရွိခ်က္မ်ားမွာ ၊ အေပၚယံၾကည့္လုိက္လွ်င္ ဘာမွမျဖစ္ေလာက္ဟု ထင္ရေသာ္လည္း၊ သူတုိ႔၏ ေတြ႔ရွိခ်က္မ်ားႏွင့္ လူသားမ်ားအတြက္ မ်ားစြာ အေထာက္အကူျဖစ္ခဲ့ပါသည္။
ေရွးကသမုိင္းမွတ္တမ္းမ်ားအရ၊ ေရွးကအီဂ်စ္လူမ်ိဳးမ်ားသည္ သခ်ၤာကုိအသုံးျပဳ၍ ပီးရမစ္မ်ားကုိ တည္ေဆာက္ခဲ့ၾကသည္။ ေရာမလူမ်ိဳးမ်ားသည္ အီဂ်စ္ႏွင့္ ဂရိႏုိင္ငံမ်ားကုိ စစ္အားျဖင့္ အႏုိင္ရရွိခဲ့ေသာ္လည္း သခ်ၤာအပါအဝင္ သိပၸံဘာသာရပ္မ်ား၏ တုိးတက္မႈအတြက္ ဘာမွ လုပ္ေဆာင္ႏုိင္ျခင္းမရွိပါ။ သခ်ၤာ အေတြးအေခၚမ်ားကုိ စတင္၍ အုတ္ျမစ္ ခ်ေပးသူမ်ားမွာ ေရွးဂရိသခ်ၤာပညာရွင္မ်ား ျဖစ္ၾကသည္။
ထင္ရွားေသာ ပညာရွင္မ်ားမွာ ပေလတုုိ ၊ ေသးလိ ၊ ပုုိက္သာဂုုိရ၊ အာကီမီးတီ တုုိ႔ျဖစ္ၾကသည္။
ေဂ်ာ္မက္ထရီပညာ၏ အေရးပါပုုံကုုိိိိသိ၍ သူ၏ေက်ာင္းအေပါက္အဝတြင္ "ေဂ်ာ္မက္ထရီပညာကုုိ မသိေသာသူ ဒီကုုိ မဝင္ရ"ဟူေသာ စာတမ္းကုုိ ထုုိးထားခဲ့သည္။
ခရစ္ႏွစ္ ၂၁၂ တြင္ ေရာမမ်ိဳးမ်ားသည္ ဥေရာပတုုိက္တစ္ခုုလုုံးကုုိ အုုပ္စုုိးခဲ့ၿပီး၊ အာကီးမီးတီး ကြယ္လြန္ၿပီးေနာက္၊ ဥေရာပတစ္တုုိက္လုုံးတြင္ အေမွာင္လႊမ္းေသာ ေခတ္ႀကီး က်ေရာက္ခဲ့သည္။ ထုုိအခ်ိန္တြင္ သခ်ာၤႏွင့္ ဝိဇၨာ၊ သိပၸံပညာရပ္မ်ား ေပ်ာက္ကြယ္ခဲ့ရသည္။ အေမွာင္လႊမ္းေသာေခတ္ႀကီးသည္ ႏွစ္ေပါင္း ၁၇၀၀ ေလာက္ၾကာရွည္ခဲ့သည္။
ဥေရာပတုုိက္တြင္ အေမွာင္လႊမ္းေသာေခတ္ႀကီး ၾကံဳေနေသာ္လည္း အေရွ႕ႏုုိင္ငံမ်ားျဖစ္ၾကေသာ တရုုတ္ႏုုိင္ငံႏွင့္ အိႏိၵယႏုုိင္ငံတုုိ႔တြင္ သခ်ၤာႏွင့္ ဝိဇၨာ၊ သိပံၸပညာရပ္မ်ားည္ မ်ားစြာ တုုိးတက္ခဲ့ပါသည္။
တရုုတ္လူမ်ိဳးမ်ားသည္ အကၡရာသခ်ာၤဆုုိင္ရာ ညီမွ်ျခင္းမ်ားကုုိ ထိုကဲ့သုုိ႔ အကၡရာမ်ား မသုုံးဘဲ စာျဖင့္ ေရးသားေဖၚျပ ေလ့လာၾကသည္။ ၄င္းအျပင္ အံ့ဖြယ္စတုုရန္း (magic square) မ်ားကုုိ ေဖၚထုုတ္ခဲ့သည္။ အံ့ဖြယ္စတုုရန္း ဟူသည္မွာ အလ်ားလုုိက္၊ ထာင္လုုိက္၊ ေထာင့္ျဖတ္အလုုိက္ ေပါင္းလ ွ်င္ အေျဖတူေအာင္ စီထားေသာ စတုုရန္းပုုံ ဂဏန္းမ်ားျဖစ္သည္။
ဥပမာ
4 9 2
3 5 7
8 1 6
ဤကဲ့သုုိ႔ျဖစ္သည္။ ထုုိအခါက 1,2,3, … ဟူေသာ ဂဏန္းမ်ား မရွိေသးေသာေၾကာင့္ တရုုတ္လူမ်ိဳးမ်ား ေဖၚထုုတ္ခဲ့ေသာ အံ့ဖြယ္စတုုရန္းမွာကါး ဤသုုိ႔ျဖစ္သည္။
![]()
စက္ဝုုိင္းေလးမ်ားအေရအတြက္သည္ ဂဏန္းမ်ားကုုိ ျပသည္။ စက္ဝုုိင္းအျဖဴ ေလးမ်ား အေရအတြက္သည္ မဂဏန္းမ်ား ျဖစ္သည္။ စက္ဝုုိင္းအနက္ကေလးမ်ား အေရအတြက္သည္ စုုံ ဂဏန္းျဖစ္သည္။ ငါးရာစုုေလာက္တြင္ သားအဖျဖစ္သူ စူခ်န္ခ်ဳိင္း(Tsu Chung Chih) ႏွင့္ စူကင္ခ်ိဳင္း (Tsu Keng Chih ) တုုိ႔က ပုုိင္( )၏ တန္ဖုုိးသည္ 3.1415926 ႏွင့္ 3.1415927့ ၾကားတြင္ ရွိေၾကာင္း ေဖၚထုုတ္ျပသခဲ့သည္။ အေနာက္ႏုုိင္ငံမ်ားတြင္ ပိုင္ တန္ဖုုိးကုုိ ေနာင္ႏွစ္ေပါင္း 1200 ေလာက္ၾကေတာ့မွ ေတြ႔ရွိခဲ့သည္။
အလယ္ေခတ္တြင္ အႏိၵယႏုုိင္ငံတြင္လည္း သခ်ၤာပညာရွင္မ်ားစြာ ေပၚေပါက္ခဲ့သည္။ ( ) pi ၏တန္ဖုုိးကုုိ ဒသမေလးေနရာအထိ မွန္ေအာင္ တြက္ခ်က္ခဲ့သည္။
အကၡရာသခ်ၤာ ညီမ ွ်ျခင္းမ်ားကုုိလည္း သုုံးထပ္ညီမ ွ်ျခင္းအထိ ေျဖရွင္းနည္းမ်ားကုုိ ေဖၚထုုတ္ခဲ့သည္။ နကၡတေဗဒ (Astronomy ) ဘာသာရပ္ကုုိလည္း ေကါင္းစြာတတ္ေျမာက္ၿပီး၊ ၿဂိဳဟ္မ်ား သြားႏႈန္းႏွင့္ ပတ္လမ္းမ်ားကုုိပါ တြက္ခ်က္ႏုုိင္ခဲ့သည္။ သခ်ၤာပညာရွင္ အုုိမာခရမ္ (Omar Khayyam )သည္ ကဗ်ာရွည္ႀကီးတစ္ပုုဒ္ေၾကာင့္ ေၾကာ္ၾကားခဲ့ေသာ သခ်ၤာပညာရွင္အျဖစ္ လူသိမ်ားသည္။ သူ၏ ရူးဘီယက္ (Rubaiyat) အမည္ရွိ ကဗ်ာရွည္ႀကီးသည္ ကမာၻတြင္ ဂႏၳဝင္ စာေပထဲတြင္ ပါဝင္ခဲ့သည္။
သခ်ၤာသမုုိင္းတြင္ အလြန္အေရးပါေသာ တည္ထြင္မႈတစ္ခုုမ်ာ သုုည (zero ) ျဖစ္သည္။ အခ်ိန္မွာ ခရစ္ႏွစ္ 600 ေလာက္က ျဖစ္ၿပီး ဘယ္သူတည္ထြင္သည္ဟူသည္ကုုိ အတိအက် မသိပါ။ အိႏိၵယႏုုိင္ငံက တည္ထြင္ခဲ့ျခင္းျဖစ္သည္ဟုု ယုုံၾကည္ၾကသည္။
၁၇ ရာစုုတြင္ ထင္ရွားေသာ သခ်ၤာပညာရွင္တစ္ဦးမွာ ျပင္သစ္ႏုုိင္ငံမွ ဖါးဖက္(Fermat ) ၿဖစ္သည္။ သူ က
Fn = + 1
သည္ သုုဒ ကိန္း( prime number ) ျဖစ္သလားဟုု ေမးခဲ့သည္။ ဆုုိလုုိသည္မွာ ၄င္းကုုိ စား() ျပတ္ေသာ ဂဏန္းသည္ 1ႏွင့္ သူကုုိယ္တုုိင္မွ အပ အျခား ရွိမရွိ ဟူ၍ ျဖစ္သည္။ (n=1,2,3,4, ) အထိ မွန္ကန္ေၾကာင္းေတြ႔ရသည္။
ေနာင္ႏွစ္ေပါင္းတစ္ရာေက်ာ္ၾကာမွ သခ်ၤာပညာရွင အြဳိင္္လာ(Euler) က F(5) သည္ prime number မဟုုတ္ေၾကာင္းကုုိ ျပသခဲ့သည္။ ထုုိ႔ေနာက္ ေဒါက္တာေအာင္သူသည္ ယေန႔မ်က္ေမွာက္ေခတ္အထိ ထင္ရွားေသာ သခ်ၤာပညာရွင္မ်ားနွင့္ ၄င္းတုုိ႔၏လုုပ္ေဆာင္ခ်က္မ်ားကုုိ တင္ျပသြားသည္။
ေဒါက္တာေအာင္သူ၏ စာတမ္းကုုိ နားေထာင္ရင္း ၁၉၆၄ခုုႏွစ္က ပထမဦးဆုုံး သခ်ၤာအသင္းကုုိ ထူေထာင္စဥ္က အေၾကာင္းတစ္ခုုကို သတိရမိပါသည္။ ထုုိအခ်ိန္က သခ်ၤာအသင္း ပထမဆုုံးဥကၠဌမွာ ကြ်န္ေတာ္၏ဆရာျဖစ္သူ ဦးကုုိကုုိေလးျဖစ္သည္။ သူက သခ်ၤာအသင္း၏ ပထမဆုုံးေဟာေျပာပဲြတြင္ သခ်ၤာ၏သမုုိင္းကုုိ ေဟာေျပာသြားခဲ့ဖူးပါသည္။ ထုုိအခ်ိန္က ဖါးမက္ေမးခဲ့ေသာ မးခြန္းကုုိ အြိဳင္လာကေျဖသြားပုုံကုုိ ဝတဳၳဇာတ္လမ္း ဆန္ဆန္ေလး ဤသုုိ႔ေျပာသြားခဲ့ပါသည္။
အဲဒီေန႔မွာ အြိဳင္လာက သခ်ၤာမွာအေရးပါတဲ့ အေၾကာင္းအရာတစ္ခုုကုုိ ေဟာေျပာမယ္ဆုုိတာကုုိ ႀကိဳတင္ၿပီး ေျပာထားခဲ့ပါတယ္။ အဲဒီေန႔မွာ သခ်ၤာပညာရွင္ေတြမ်ားစြာ တက္ေရာက္ၾကပါသည္။ သခ်ၤာေက်ာင္းသားမ်ားကလည္း မွတ္စုုစာအုုပ္ေတြကုုိယ္စီနဲ႔ ေမွ်ာ္လင့္တႀကီး ေစာင့္ေနၾကပါတယ္။ အြိဳင္လာ ေရာက္လာပါတယ္။ သူကလက္ထဲမွာ စာရြက္ကေလးတစ္ရြက္ပဲ ပါလာပါတယ္။
အြိဳင္လာက ေက်ာက္သင္ပုုန္းေပၚတြင္ 2x2=4, 4x2=8, 8x2=16 , ဟု စေရးလိုက္သည္။ ဆက္လက္၍ … 256x2=512 , 512x2=1024,…… တက္ေရာက္သူမ်ားက တစ္ေယာက္မ်က္ႏွာ တစ္ေယာက္ၾကည့္ ဘာေတြလဲ ? ဟုု ေမးၾကသည္။ ေက်ာင္းသားမ်ားကလည္း သူတုုိ႔၏ မွတ္စုုစာအုုပ္မ်ားထဲတြင္ ကူးေရး ရမလုုိ၊ ဘာလုုပ္ရမွန္း မသိ ျဖစ္ေနၾကသည္။ ဖါးမယ္သည္ 2 ကုုိ 32 ႀကိမ္ ေျမွာက္ၿပီးသြားေသာအခါ
2(32) + 1 = 4294967297
ဟုု ေက်ာက္သင္ပုုန္းေထာင့္တစ္ခုုတြင္ ေရးလုုိက္သည္။ ထုုိအေျဖကုုိ ေဘာင္ခတ္ ထားလုုိက္သည္။ ၿပီးလွ်င္ ေက်ာက္သင္ပုုန္း၏ က်န္အပုုိင္းကုုိ ဖ်က္၍ ၆၇၀၀၄၁၇ ကို ၆၄၁ ျဖင့္ ေျမွာက္သည္။ ထုုိဂဏန္းႏွစ္လုုံးေျမွာက္ () ၍ ရရွိေသာအေျဖကုုိ
6700417 x 641 = 4294967297
ဟုု ေရးခ်လုုိက္ၿပီး၊ ထုုိအေျဖကုုိ ေဘာင္ခတ္ ထားလုုိက္သည္။ ၿပီးေတာ့မွ ေဘာင္ခတ္ထားေသာ အေျဖႏွစ္ခုုကုုိ ျမွားႏွစ္ဖက္ျဖင့္ ထုုိးျပလုုိက္သည္။ ၿပီးေတာ့ အြိဳင္လာသည္ စကားတစ္ခြန္းမွ မေျဖဘဲ၊ ျပန္ထုုိင္ေနလုုိက္သည္။
ပရိသတ္တုုိ႔သည္ ေခတၱမွ် အြိဳင္လာေရးျပထားေသာအေျဖႏွစ္ခုုကုုိ ၾကည့္ေနသည္။ ၿပီးေတာ့မွ ဘာဆုုိလုုိသည္ကုုိ သေဘာေပါက္၍ လက္ခုုပ္မ်ားတီး ၾသဘာေပးၾကေလသည္။ သခ်ၤာဆုုိင္ရာေဆြးေႏြးပဲြမ်ားတြင္ ဤမွ်ေလာက္ ရွင္းလင္း ျပတ္သားေသာ ေဆြးေႏြးပဲြမ်ိဳး မရိွေၾကာင္း ေျပာၾကသည္။
(ဆက္ရန္)
(မိုးမခ) ဇန္န၀ါရီ ၇၊ ၂၀၁၆
သခ်ၤာပညာေရးဆုိင္ရာပထမဦးဆုံးေဆြးေႏြးပဲြကုိ ၁၉၆၉ ခုႏွစ္ကျပဳလုပ္ခဲ့ၿပီး သခ်ၤာပညာေရးဆုိင္ရာ သီအုိရီသေဘာတရားတစ္ခု လိုအပ္ေၾကာင္းကုိ ေဖၚထုတ္ျပသခဲ့သည္။ သုိ႔ရာတြင္ သခ်ၤာပညာေရးကုိ ေလ့လာရာတြင္ သခ်ၤာဘာသာတစ္မ်ိဳးတည္းကုိေလ့လာျခင္းျဖင့္ မလုံေလာက္ေတာ့ဘဲ၊ သခ်ၤာႏွင့္ ဆက္စပ္ေနေသာ အျခားဘာသာမ်ားကုိလည္း ေလ့လာရန္ လုိအပ္ပါသည္ဟူ၍ တင္ျပခဲ့သည္။
ေမးခြန္းမ်ားေမးခ်ိန္နွင့္ ေဆြးေႏြးခ်ိန္တြင္ ကြ်န္ေတာ္က သခ်ၤာသင္ရုိးမ်ားတြင္ သခ်ၤာသမုိင္း (History of Mathematics) သည္ အေရးႀကီးေသာအခန္းက႑တြင္ ပါဝင္သင့္ေၾကာင္းကုိ တင္ျပခဲ့သည္။ သုိ႔ရာတြင္ သခ်ၤာသမုိင္းဘာသာကုိလည္း ဦးစားေပးသင့္ေၾကာင္းကုိ တင္ျပခဲ့ပါသည္။ လက္ေတြ႔နယ္ပယ္မ်ားတြင္ သခ်ၤာအျပင္ အျခားေသာ ဘာသာရပ္မ်ားျဖစ္ၾကေသာ ဒႆန (Philosophys )၊ စိတ္ပညာ (Psychology)၊ ဇီဝေဗဒ( biology)၊ Evolution Theory (အဆင့္ဆင့္ေျပာင္းလဲျခင္းသီအုိရီ) ႏုိင္ငံေရးသိပၸၸၸံ (poliyical science) တုိ႔ကုိပါ ေလ့လာသင့္ေၾကာင္းကုိ ေဆြးေႏြးတင္ျပပါသည္။
ေမးခြန္းေမးရန္ေပးထားေသာ အခ်ိန္သာရွိခဲ့လွ်င္ သခ်ၤာသင္ၾကားပုိ႔ခ်သည့္အခါတြင္ သီအုိရီတစ္ခုကုိ ေဖၚထုတ္ျပသေသာ ဥပမာမ်ားကုိ မည္မွ်အေလးေပး သင့္သည္ ဟူသည္ကုိ ေမးျမန္းခ်င္ပါသည္။ အကယ္၍ အခ်ိန္သာရွိခဲ့လွ်င္ဤကိစၥႏွင့္ပတ္သက္၍ ဆရာဦးကိုကုိေလး၏ ေျပာၾကားခ်က္တစ္ခုကုိ အသိေပးေဆြးေႏြးလုိပါသည္။
ဆရာဦးကုိကုိေလးက ဆုိခဲ့သည္မွာ သီအုိရီတစ္ခုကုိ ေဖၚထုတ္ျပသေသာ ဥပမာမ်ားစြာကုိ ဦးစားေပး၍ သင္ျခင္းတြင္ အႏၱရယ္တစ္ခုရွိသည္။ ၄င္းမွာ ဤဥပမာမ်ားသည္ ထုိသီအုိရီ၏ သက္ေသျပခ်က္ျဖစ္သည္ဟု လဲြမွားစြာ မွတ္ယူသြားႏုိင္သည္။
ဤေနရာတြင္ သခ်ၤာပညာရွင္ ပိြဳင္ကါေရး( Poincare) ၏ အဆုိတစ္ခုမွာမွတ္သားစရာျဖစ္ပါသည္။ ပိြဳင္ကါေရးက ဆုိသည္မွာ ဥပမာမ်ား သန္းခ်ီ၍ ေပးႏုိင္ရုံျဖင့္ သီအုိရီတစ္ခု၏ မွန္ကန္ေၾကာင္းကုိ မေျပာႏုိင္ေသာ္လည္း ဥပမာတစ္ခုေၾကာင့္ သီအုိရီတစ္ခုမွားေၾကာင္းကုိ ထင္ထင္ရွားရွား ေဖၚထုတ္ႏုိင္သည္။
ထုိ႔ေနာက္ ေဒါက္တာေဒၚစီစီက အျဖဴေရာင္ ဆူညံသံ( white noise) ႏွင့္ ဆုိင္ေသာ သခ်ၤာသေဘာတရားမ်ားကုိ White Noise Analysis and Levy’s Functional Analysis (အျဖဴေရာင္ဆူညံသံႏွင့္ လီဘီ၏ ဖန္ရွင္နယ္ သရုပ္ခဲြျခင္း) အမည္ရွိစာတမ္းတြင္၊ တင္ျပခဲ့ပါသည္။ ထုိစာတမ္းတြင္ က်ပမ္းျဖစ္ရပ္တစ္ခုကုိ မွီ၍ ျဖစ္လာေသာအျဖဴေရာင္ဆူညံသံကုိ တည္ေဆာက္ျခင္းအေၾကာင္းကုိ တင္ျပသည္။ ဤစာတမ္းတြင္ အျဖဴေရာင္ဆူညံသံကုိ သခ်ၤာသေဘာတရား သက္သက္ျဖင့္ ေဖၚျပရာတြင္ ျဖစ္ရပ္တစ္ခုႏွင့္ တူညီေသာ အေျခခံက်ပမ္းကိန္းရွင္မ်ား အစုအေဝးဟူ၍ အဓိပၸၸါယ္ေဖာ္ခဲ့သည္။ ထုိ႔ေၾကာင့္ ေျဖရွင္းရမည့္ သခ်ၤာညီမွ်ျခင္းပုံစံကုိေဖၚျပၿပီး၊ ကဲကုလ္နည္းကုိသုံး၍ ေျဖရွင္းပုံကုိေဖၚျပခဲ့သည္။ ထုိစာတမ္းသည္ ‘ဆူညံသံ’ ဟူေသာ ေဝါဟာရမွအပ၊ သခ်ၤာေဝါဟာရမ်ားႏွင့္ ညီမွ်ျခင္းမ်ား ျပည့္ေနသျဖင့္ သခ်ၤာပညာရွင္မ်ားပင္လွ်င္ နားလည္ရန္ အေတာ္ႀကိဳးစားရပါသည္။
ဒုတိယေန႔ျဖစ္ေသာ ဒီဇင္ဘာလ ၅ရက္ အစီအစဥ္ကုိ စင္ကၤာပူအမ်ိဳးသားတကၠသုိလ္၏ သခ်ၤာဌာနမွ ပါေမာကၡ လူဝိခ်န္း( စတုိင္းစ္ တြက္နည္း) အမည္ရွိစာတမ္းျဖင့္ စတင္ခဲ့ပါသည္။ ထုိစာတမ္းသည္ သခ်ၤာနယ္ပယ္တြင္ Approximation (ခန္႔မွန္းေျခအေျဖရွာျခင္း) ဟူေသာအေၾကာင္းထဲမွ နည္းလမ္းတစ္ခုျဖစ္ပါသည္။ ထုိစာတမ္းတြင္ ပါဝင္ေသာအမည္ျဖစ္သည့္ စတုိင္း (Stein)သည္ အေမရိကန္ႏုိင္ငံ၊ စတင္းဖုိ႔တကၠသုိုလ္မွ ပါေမာကၡတစ္ဦးျဖစ္ပါသည္။ သူေဖၚထုတ္ခဲ့ေသာ ခန္႔မွန္းအေျဖရွာနည္းသည္ လက္ေတြ႔နယ္ပယ္မ်ားျဖစ္ၾကေသာ တြက္ခ်က္ျခင္းဇီဝေဗဒ (computational biology) ကြန္ပ်ဴတာသိပၸၸံ (computer science) စိတ္ခ်ရျခင္းဆုိင္ရာသီအုိရီ (reliability theory စသည္တုိ႔တြင္ အသုံးဝင္ပါသည္။ ထုိ႔ေၾကာင့္ ဤတြက္နည္းသည္ ယခုအခါတြင္ ႀကီးထြားလွ်က္ရိွၿပီး အလြန္လူသိမ်ားေသာ သုေတသနနယ္ပယ္တစ္ခုျဖစ္ေနပါသည္။
ဒုတိယေန႔ (ဒီဇင္ဘာလ ၅ရက္) ၏ ဒုတိယစာတမ္းမွာ ေဒါက္တာေအာင္သူ၏ History of Mathematics and the Exploitation of that for the Development of the Future ( သခ်ၤာ၏သမုိင္းႏွင့္ အနာဂတ္၏ ဖံြ႔ၿဖိဳးေရးအတြက္ ၄င္းကုိအသုံးခ်ျခင္း) အမည္ရွိ စာတမ္းကုိတင္သြင္းခဲ့ပါသည္။ ထုိစာတမ္းတြင္ ေဖၚျပထားသည္မွာ ကြ်ႏ္ုပ္တုိ႔သည္ သခ်ၤာအေၾကာင္းကုိ ေျပာမည္ဆုိလွ်င္ ၄င္းတြင္ အလြန္ေရွးက်ေသာ သမုိင္းအစဥ္အလာရွိသည္ကုိ ေတြ႔ရပါမည္။ သခ်ၤာ၏သမုိင္းသည္ ခရစ္ေတာ္မေပၚမွီကပင္ စတင္ခဲ့ပါသည္။ ဤစာတမ္းတြင္ ေခတ္အဆက္ဆက္က သခ်ၤာပညာရွင္မ်ားအေၾကာင္းကုိ တင္ျပပါမည္။ သူတုိ႔၏ သခ်ၤာႀကိဳးပမ္းခ်က္မ်ားကုိလည္း တင္ျပသြားပါမည္။ အခ်ိဳ႕ေသာ သခ်ၤာပညာရွင္မ်ားေပၚေပါက္ခဲ့ေသာ ေခတ္ကာလသည္ ေရွးကသမုိင္းတြင္ နစ္ျမဳပ္ေနသျဖင့္ သူတုိ႔အေၾကာင္းကုိ တိတိက်က်ေဖၚထုတ္၍ပင္ မရပါ။ သူတုိ႔၏ သခ်ၤာဆုိင္ရာ ေတြ႔ရွိခ်က္မ်ားသည္ သခ်ၤာ၏ အနာဂတ္ဖံြ႔ၿဖိဳးမႈအေတြက္ မ်ားစြာအေထာက္အကူျဖစ္ခဲ့ပါသည္။ ထုိသခ်ၤာပညာရွင္ႀကီးမ်ား၏ အခ်ိဳ႕ေသာေတြ႔ရွိခ်က္မ်ားမွာ ၊ အေပၚယံၾကည့္လုိက္လွ်င္ ဘာမွမျဖစ္ေလာက္ဟု ထင္ရေသာ္လည္း၊ သူတုိ႔၏ ေတြ႔ရွိခ်က္မ်ားႏွင့္ လူသားမ်ားအတြက္ မ်ားစြာ အေထာက္အကူျဖစ္ခဲ့ပါသည္။
ေရွးကသမုိင္းမွတ္တမ္းမ်ားအရ၊ ေရွးကအီဂ်စ္လူမ်ိဳးမ်ားသည္ သခ်ၤာကုိအသုံးျပဳ၍ ပီးရမစ္မ်ားကုိ တည္ေဆာက္ခဲ့ၾကသည္။ ေရာမလူမ်ိဳးမ်ားသည္ အီဂ်စ္ႏွင့္ ဂရိႏုိင္ငံမ်ားကုိ စစ္အားျဖင့္ အႏုိင္ရရွိခဲ့ေသာ္လည္း သခ်ၤာအပါအဝင္ သိပၸံဘာသာရပ္မ်ား၏ တုိးတက္မႈအတြက္ ဘာမွ လုပ္ေဆာင္ႏုိင္ျခင္းမရွိပါ။ သခ်ၤာ အေတြးအေခၚမ်ားကုိ စတင္၍ အုတ္ျမစ္ ခ်ေပးသူမ်ားမွာ ေရွးဂရိသခ်ၤာပညာရွင္မ်ား ျဖစ္ၾကသည္။
ထင္ရွားေသာ ပညာရွင္မ်ားမွာ ပေလတုုိ ၊ ေသးလိ ၊ ပုုိက္သာဂုုိရ၊ အာကီမီးတီ တုုိ႔ျဖစ္ၾကသည္။
ေဂ်ာ္မက္ထရီပညာ၏ အေရးပါပုုံကုုိိိိသိ၍ သူ၏ေက်ာင္းအေပါက္အဝတြင္ "ေဂ်ာ္မက္ထရီပညာကုုိ မသိေသာသူ ဒီကုုိ မဝင္ရ"ဟူေသာ စာတမ္းကုုိ ထုုိးထားခဲ့သည္။
ခရစ္ႏွစ္ ၂၁၂ တြင္ ေရာမမ်ိဳးမ်ားသည္ ဥေရာပတုုိက္တစ္ခုုလုုံးကုုိ အုုပ္စုုိးခဲ့ၿပီး၊ အာကီးမီးတီး ကြယ္လြန္ၿပီးေနာက္၊ ဥေရာပတစ္တုုိက္လုုံးတြင္ အေမွာင္လႊမ္းေသာ ေခတ္ႀကီး က်ေရာက္ခဲ့သည္။ ထုုိအခ်ိန္တြင္ သခ်ာၤႏွင့္ ဝိဇၨာ၊ သိပၸံပညာရပ္မ်ား ေပ်ာက္ကြယ္ခဲ့ရသည္။ အေမွာင္လႊမ္းေသာေခတ္ႀကီးသည္ ႏွစ္ေပါင္း ၁၇၀၀ ေလာက္ၾကာရွည္ခဲ့သည္။
ဥေရာပတုုိက္တြင္ အေမွာင္လႊမ္းေသာေခတ္ႀကီး ၾကံဳေနေသာ္လည္း အေရွ႕ႏုုိင္ငံမ်ားျဖစ္ၾကေသာ တရုုတ္ႏုုိင္ငံႏွင့္ အိႏိၵယႏုုိင္ငံတုုိ႔တြင္ သခ်ၤာႏွင့္ ဝိဇၨာ၊ သိပံၸပညာရပ္မ်ားည္ မ်ားစြာ တုုိးတက္ခဲ့ပါသည္။
တရုုတ္လူမ်ိဳးမ်ားသည္ အကၡရာသခ်ာၤဆုုိင္ရာ ညီမွ်ျခင္းမ်ားကုုိ ထိုကဲ့သုုိ႔ အကၡရာမ်ား မသုုံးဘဲ စာျဖင့္ ေရးသားေဖၚျပ ေလ့လာၾကသည္။ ၄င္းအျပင္ အံ့ဖြယ္စတုုရန္း (magic square) မ်ားကုုိ ေဖၚထုုတ္ခဲ့သည္။ အံ့ဖြယ္စတုုရန္း ဟူသည္မွာ အလ်ားလုုိက္၊ ထာင္လုုိက္၊ ေထာင့္ျဖတ္အလုုိက္ ေပါင္းလ ွ်င္ အေျဖတူေအာင္ စီထားေသာ စတုုရန္းပုုံ ဂဏန္းမ်ားျဖစ္သည္။
ဥပမာ
4 9 2
3 5 7
8 1 6
ဤကဲ့သုုိ႔ျဖစ္သည္။ ထုုိအခါက 1,2,3, … ဟူေသာ ဂဏန္းမ်ား မရွိေသးေသာေၾကာင့္ တရုုတ္လူမ်ိဳးမ်ား ေဖၚထုုတ္ခဲ့ေသာ အံ့ဖြယ္စတုုရန္းမွာကါး ဤသုုိ႔ျဖစ္သည္။
စက္ဝုုိင္းေလးမ်ားအေရအတြက္သည္ ဂဏန္းမ်ားကုုိ ျပသည္။ စက္ဝုုိင္းအျဖဴ ေလးမ်ား အေရအတြက္သည္ မဂဏန္းမ်ား ျဖစ္သည္။ စက္ဝုုိင္းအနက္ကေလးမ်ား အေရအတြက္သည္ စုုံ ဂဏန္းျဖစ္သည္။ ငါးရာစုုေလာက္တြင္ သားအဖျဖစ္သူ စူခ်န္ခ်ဳိင္း(Tsu Chung Chih) ႏွင့္ စူကင္ခ်ိဳင္း (Tsu Keng Chih ) တုုိ႔က ပုုိင္( )၏ တန္ဖုုိးသည္ 3.1415926 ႏွင့္ 3.1415927့ ၾကားတြင္ ရွိေၾကာင္း ေဖၚထုုတ္ျပသခဲ့သည္။ အေနာက္ႏုုိင္ငံမ်ားတြင္ ပိုင္ တန္ဖုုိးကုုိ ေနာင္ႏွစ္ေပါင္း 1200 ေလာက္ၾကေတာ့မွ ေတြ႔ရွိခဲ့သည္။
အလယ္ေခတ္တြင္ အႏိၵယႏုုိင္ငံတြင္လည္း သခ်ၤာပညာရွင္မ်ားစြာ ေပၚေပါက္ခဲ့သည္။ ( ) pi ၏တန္ဖုုိးကုုိ ဒသမေလးေနရာအထိ မွန္ေအာင္ တြက္ခ်က္ခဲ့သည္။
အကၡရာသခ်ၤာ ညီမ ွ်ျခင္းမ်ားကုုိလည္း သုုံးထပ္ညီမ ွ်ျခင္းအထိ ေျဖရွင္းနည္းမ်ားကုုိ ေဖၚထုုတ္ခဲ့သည္။ နကၡတေဗဒ (Astronomy ) ဘာသာရပ္ကုုိလည္း ေကါင္းစြာတတ္ေျမာက္ၿပီး၊ ၿဂိဳဟ္မ်ား သြားႏႈန္းႏွင့္ ပတ္လမ္းမ်ားကုုိပါ တြက္ခ်က္ႏုုိင္ခဲ့သည္။ သခ်ၤာပညာရွင္ အုုိမာခရမ္ (Omar Khayyam )သည္ ကဗ်ာရွည္ႀကီးတစ္ပုုဒ္ေၾကာင့္ ေၾကာ္ၾကားခဲ့ေသာ သခ်ၤာပညာရွင္အျဖစ္ လူသိမ်ားသည္။ သူ၏ ရူးဘီယက္ (Rubaiyat) အမည္ရွိ ကဗ်ာရွည္ႀကီးသည္ ကမာၻတြင္ ဂႏၳဝင္ စာေပထဲတြင္ ပါဝင္ခဲ့သည္။
သခ်ၤာသမုုိင္းတြင္ အလြန္အေရးပါေသာ တည္ထြင္မႈတစ္ခုုမ်ာ သုုည (zero ) ျဖစ္သည္။ အခ်ိန္မွာ ခရစ္ႏွစ္ 600 ေလာက္က ျဖစ္ၿပီး ဘယ္သူတည္ထြင္သည္ဟူသည္ကုုိ အတိအက် မသိပါ။ အိႏိၵယႏုုိင္ငံက တည္ထြင္ခဲ့ျခင္းျဖစ္သည္ဟုု ယုုံၾကည္ၾကသည္။
၁၇ ရာစုုတြင္ ထင္ရွားေသာ သခ်ၤာပညာရွင္တစ္ဦးမွာ ျပင္သစ္ႏုုိင္ငံမွ ဖါးဖက္(Fermat ) ၿဖစ္သည္။ သူ က
Fn = + 1
သည္ သုုဒ ကိန္း( prime number ) ျဖစ္သလားဟုု ေမးခဲ့သည္။ ဆုုိလုုိသည္မွာ ၄င္းကုုိ စား() ျပတ္ေသာ ဂဏန္းသည္ 1ႏွင့္ သူကုုိယ္တုုိင္မွ အပ အျခား ရွိမရွိ ဟူ၍ ျဖစ္သည္။ (n=1,2,3,4, ) အထိ မွန္ကန္ေၾကာင္းေတြ႔ရသည္။
ေနာင္ႏွစ္ေပါင္းတစ္ရာေက်ာ္ၾကာမွ သခ်ၤာပညာရွင အြဳိင္္လာ(Euler) က F(5) သည္ prime number မဟုုတ္ေၾကာင္းကုုိ ျပသခဲ့သည္။ ထုုိ႔ေနာက္ ေဒါက္တာေအာင္သူသည္ ယေန႔မ်က္ေမွာက္ေခတ္အထိ ထင္ရွားေသာ သခ်ၤာပညာရွင္မ်ားနွင့္ ၄င္းတုုိ႔၏လုုပ္ေဆာင္ခ်က္မ်ားကုုိ တင္ျပသြားသည္။
ေဒါက္တာေအာင္သူ၏ စာတမ္းကုုိ နားေထာင္ရင္း ၁၉၆၄ခုုႏွစ္က ပထမဦးဆုုံး သခ်ၤာအသင္းကုုိ ထူေထာင္စဥ္က အေၾကာင္းတစ္ခုုကို သတိရမိပါသည္။ ထုုိအခ်ိန္က သခ်ၤာအသင္း ပထမဆုုံးဥကၠဌမွာ ကြ်န္ေတာ္၏ဆရာျဖစ္သူ ဦးကုုိကုုိေလးျဖစ္သည္။ သူက သခ်ၤာအသင္း၏ ပထမဆုုံးေဟာေျပာပဲြတြင္ သခ်ၤာ၏သမုုိင္းကုုိ ေဟာေျပာသြားခဲ့ဖူးပါသည္။ ထုုိအခ်ိန္က ဖါးမက္ေမးခဲ့ေသာ မးခြန္းကုုိ အြိဳင္လာကေျဖသြားပုုံကုုိ ဝတဳၳဇာတ္လမ္း ဆန္ဆန္ေလး ဤသုုိ႔ေျပာသြားခဲ့ပါသည္။
အဲဒီေန႔မွာ အြိဳင္လာက သခ်ၤာမွာအေရးပါတဲ့ အေၾကာင္းအရာတစ္ခုုကုုိ ေဟာေျပာမယ္ဆုုိတာကုုိ ႀကိဳတင္ၿပီး ေျပာထားခဲ့ပါတယ္။ အဲဒီေန႔မွာ သခ်ၤာပညာရွင္ေတြမ်ားစြာ တက္ေရာက္ၾကပါသည္။ သခ်ၤာေက်ာင္းသားမ်ားကလည္း မွတ္စုုစာအုုပ္ေတြကုုိယ္စီနဲ႔ ေမွ်ာ္လင့္တႀကီး ေစာင့္ေနၾကပါတယ္။ အြိဳင္လာ ေရာက္လာပါတယ္။ သူကလက္ထဲမွာ စာရြက္ကေလးတစ္ရြက္ပဲ ပါလာပါတယ္။
အြိဳင္လာက ေက်ာက္သင္ပုုန္းေပၚတြင္ 2x2=4, 4x2=8, 8x2=16 , ဟု စေရးလိုက္သည္။ ဆက္လက္၍ … 256x2=512 , 512x2=1024,…… တက္ေရာက္သူမ်ားက တစ္ေယာက္မ်က္ႏွာ တစ္ေယာက္ၾကည့္ ဘာေတြလဲ ? ဟုု ေမးၾကသည္။ ေက်ာင္းသားမ်ားကလည္း သူတုုိ႔၏ မွတ္စုုစာအုုပ္မ်ားထဲတြင္ ကူးေရး ရမလုုိ၊ ဘာလုုပ္ရမွန္း မသိ ျဖစ္ေနၾကသည္။ ဖါးမယ္သည္ 2 ကုုိ 32 ႀကိမ္ ေျမွာက္ၿပီးသြားေသာအခါ
2(32) + 1 = 4294967297
ဟုု ေက်ာက္သင္ပုုန္းေထာင့္တစ္ခုုတြင္ ေရးလုုိက္သည္။ ထုုိအေျဖကုုိ ေဘာင္ခတ္ ထားလုုိက္သည္။ ၿပီးလွ်င္ ေက်ာက္သင္ပုုန္း၏ က်န္အပုုိင္းကုုိ ဖ်က္၍ ၆၇၀၀၄၁၇ ကို ၆၄၁ ျဖင့္ ေျမွာက္သည္။ ထုုိဂဏန္းႏွစ္လုုံးေျမွာက္ () ၍ ရရွိေသာအေျဖကုုိ
6700417 x 641 = 4294967297
ဟုု ေရးခ်လုုိက္ၿပီး၊ ထုုိအေျဖကုုိ ေဘာင္ခတ္ ထားလုုိက္သည္။ ၿပီးေတာ့မွ ေဘာင္ခတ္ထားေသာ အေျဖႏွစ္ခုုကုုိ ျမွားႏွစ္ဖက္ျဖင့္ ထုုိးျပလုုိက္သည္။ ၿပီးေတာ့ အြိဳင္လာသည္ စကားတစ္ခြန္းမွ မေျဖဘဲ၊ ျပန္ထုုိင္ေနလုုိက္သည္။
ပရိသတ္တုုိ႔သည္ ေခတၱမွ် အြိဳင္လာေရးျပထားေသာအေျဖႏွစ္ခုုကုုိ ၾကည့္ေနသည္။ ၿပီးေတာ့မွ ဘာဆုုိလုုိသည္ကုုိ သေဘာေပါက္၍ လက္ခုုပ္မ်ားတီး ၾသဘာေပးၾကေလသည္။ သခ်ၤာဆုုိင္ရာေဆြးေႏြးပဲြမ်ားတြင္ ဤမွ်ေလာက္ ရွင္းလင္း ျပတ္သားေသာ ေဆြးေႏြးပဲြမ်ိဳး မရိွေၾကာင္း ေျပာၾကသည္။
(ဆက္ရန္)